sábado, 15 de mayo de 2010
roots of equations
Método de las aproximaciones sucesivas
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x. Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión de valores , que si converge, tendrá como límite la solución del problema.
En la figura 1 se representa la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0). La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a la solución final.
Sin embargo, el método puede divergir fácilmente. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x). Un ejemplo de este caso se muestra en la figura (5). Esta condición, que a priori puede considerarse una severa restricción del método, puede obviarse fácilmente. Para ello basta elegir la función g(x) del siguiente modo:
de forma que tomando un valor de adecuado, siempre podemos hacer que g(x) cumpla la condición de la derivada.
figura 2
roots of equations
RAICES DE ECUACIONES (Método de la bisección)
Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.
RAICES DE ECUACIONES (Método de la bisección)
Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.
El algoritmo empleado se esquematiza en la figura (3). Inicialmente, es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la tolerancia , que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente, x0 y x1, tales que cumplan la relación f(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que y y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que ) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método no converge.
Dos operaciones representadas en el esquema de la figura (3) requieren una explicación adicional:
• El punto medio del intervalo se calcula como en lugar de emplear . Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida previamente. Por ejemplo, en un computador de precisión limitada, existen valores de x0 y x1para los cuales xm calculado mediante se sale del intervalo [x0,x1].
• La convergencia ( ) se calcula mediante la expresión . De este modo, el término , representa el número de cifras significativas con las que obtenemos el resultado.
roots of equations
Cálculo de raíces de ecuaciones
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0 (1)
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...
La determinación de las soluciones de la ecuación (1) puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).
Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:
• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:
entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.
Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:
3x3 + 3x2 - x - 1 = 0
Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
y después multiplicamos por 32:
y3 + 3y2 -3y -9 = 0
con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, (que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.
La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0 (1)
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...
La determinación de las soluciones de la ecuación (1) puede llegar a ser un problema muy difícil. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).
Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:
• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:
entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.
Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación:
3x3 + 3x2 - x - 1 = 0
Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
y después multiplicamos por 32:
y3 + 3y2 -3y -9 = 0
con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, (que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.
La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.
numerical approximation
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS
• Modelo cuantitativo es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios.
• Modelo cualitativo aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos.
• Modelo Probabilístico aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales).
• Modelo Determinístico corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.
• Modelo Descriptivo cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden reajustarse o aún para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación.
• Modelo Optimizador corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.
Los modelos de cualquier clase, sin importar su refinamiento y exactitud, pueden probar ser poco prácticos si no están respaldados con datos confiables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, en realidad será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos puede tener un efecto directo en la precisión del modelo. La recopilación de datos puede ser la parte más difícil para determinar un modelo y desgraciadamente no se pueden sugerir reglas para este procedimiento.
Por lo común los modelos matemáticos son de índole iterativa, vale decir, se llega a la respuesta final en pasos o iteraciones y cada iteración acerca la solución al nivel óptimo, pero no todos los modelos matemáticos poseen algoritmos de solución que converjan al nivel óptimo por dos razones:
• El algoritmo de solución converge al nivel óptimo solo en teoría. La convergencia teórica señala que hay un límite superior finito, pero sin indicar cuan alto puede ser ese límite. Por lo tanto, se puede gastar horas y horas de computadora sin alcanzar la iteración final.
• La complejidad del modelo matemático puede hacer imposible idear un algoritmo de solución. Por lo tanto, el modelo puede mantenerse no factible en términos de cálculo.
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.
Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.
2. Modelos Lineales
Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.
3. Polinomios
Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …… a2x2 + a1x + a0
Donde n representa un entero negativo y los números a0, a1, a2,….. an, son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞, ∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino. Los polinomios de grado uno son de la forma: P(x) = mx + b, y son funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son llamados funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) = axx + bx + c; su gráfica es de una parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. A continuación se muestran las gráficas de algunas funciones de polinomios.
4. Funciones potencia
Una función es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay varios casos:
a. La forma genera de la gráfica depende si n es par o impar; si n es par, la gráfica de f es similar a la parábola y = x2; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y =x3.
Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la gráfica se vuelve más plana cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o igual a 1.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x2 y x6.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x3 y x5.
b. a= n, n es un entero positivo
La función f(x) = x1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz cúbica.
c. a= 1/n, n es un entero positivo.
d. a= -1
Éste tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.
5. Funciones racionales
Una función es llamada racional cuando es una razón o división de dos polinomios.
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es indivisible entre 0.
6. Funciones trigonométricas
En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.
7. Funciones exponenciales
Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞).
Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).
8. Funciones logaritmos
Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Veamos ejemplos:
Como podemos observar en las dos gráficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la gráfica de éste se apega más al eje Y.
9. Funciones trascendentes
En realidad esta clasificación engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que involucran adición, sustracción, división y multiplicación de variables).
Las funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras.
MODELO COMPUTACIONAL
Un modelo computacional es un modelo matemático en las ciencias de la computación que requiere extensos recursos computacionales para estudiar el comportamiento de un sistema complejo por medio de la simulación por computadora. El sistema bajo estudio es a menudo un sistema complejo no lineal para el cual las soluciones analíticas simples e intuitivas no están fácilmente disponibles. En lugar de derivar una solución analítica matemática para el problema, la experimentación es hecha con el modelo cambiando los parámetros del sistema en la computadora, y se estudian las diferencias en el resultado de los experimentos. Las teorías de la operación del modelo se pueden derivar/deducir de estos experimentos de computacionales.
Ejemplos de modelos de computacionales comunes son modelos de el pronóstico del tiempo, modelos del Earth Simulator, modelos de simulador de vuelo, modelos de plegamiento molecular de proteínas, y modelos de red neural.
MODELOS MATEMATICOS PARA LA PRODUCCION DE PETROLEO
Yacimientos petroleros
Un yacimiento petrolero es un medio poroso que contiene hidrocarburos.
• El material sólido, la roca, se conoce como matriz porosa y su huecos están llenos de fluidos. Tres fases: agua, aceite y gas.
• En la fase agua solo hay H2O.
• En las fases aceite y gas hay muchos hidrocarburos de distinta composición.
• El objetivo principal de la simulación de yacimientos es predecir su comportamiento futuro y encontrar maneras de optimizar la recuperación de algunos hidrocarburos.
• Dos características importantes de un yacimiento son la naturaleza de la roca y de los fluidos que la “llenan”.
• Un yacimiento es heterogeneo: sus propiedades dependen fuertemente del espacio.
• Por ejemplo: un yacimiento fracturado.
• La porosidad y la permeabilidad cambian dramáticamente.
• Las ecuaciones gobernantes son similares a las de un yacimiento ordinario, pero tienen dificultades adicionales.
• La naturaleza de los fluidos depende de la etapa de recuperación.
• En la primera etapa (recuperación primaria) , el yacimiento escencialmente contiene un fluido: gas o aceite (el agua es mínima). La presión en esta etapa es tan alta que el gas o aceite son producidos por descompresión natural. Esta etapa termina cuando ocurre un equlibrio entre la presión del campo con la presión atmosférica. Entre 70 y 80% de hidrocarburos no se extraen.
• Para recuperar el aceite que falta, un fluido (agua) es inyectado en algunos pozos (pozos de inyección), mientras que es producido en otros pozos (pozos de producción). Este proceso sirve para mantener una alta presión y altos flujos de recuperación. Esta etapa se conoce como recuperación secundaria (cuando se introduce agua se dice waterflooding)
• La inyección de agua no es muy efectiva, y después de esta etapa el yacimiento contiene aún el 50% o más de los hidrocarburos. Debido a la fuerte tensión superficial, una gran cantidad de aceite queda atrapada en los poros pequeños. Cuando el aceite es pesado y viscoso, el agua es muy móvil. Si la razón de flujo es muy alta, en vez de producir aceite, se produce agua.
• Técnicas de recuperación mejorada han sido desarrolladas (Enhanced Oil Recovery (EOR)) para optimizar la producción. Esta etapa también se conoce como recuperación terciaria.
• El aceite se recupera por inyección de materiales que no están presentes originalmente en el yacimiento. Entre los objetivos se busca obtener miscibilidad y así eliminar la saturación residual de aceite. La miscibilidad se obtiene incrementado la temperatura (combustión in situ), o inyectando otras especies químicas como CO2.
La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcción de modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y en procesos industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicas numéricas y computacionales
MODELO FISICO
En la simulación de yacimientos petroleros (SYP)
• Rasgos geológicos y estructurales del yacimiento.
• Fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y su
distribución, etc.
• Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos.
• Porosidad, permeabilidad, saturación, etc.
• Tipo de modelo
• Una, dos o tres fases (petróleo, agua, aceite).
• Composicional
• Modelos térmicos.
• Reacciones químicas
MODELO MATEMATICO
La formulación matemática se hará usando el método axiomático. En este método se identifican:
• “Propiedades extensivas”: aquellas que se pueden expresar como una integral de volumen.
• “Propiedades intensivas” : cualquier extensiva por unidad de volumen.
• Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia del sistema, por este motivo no son aditivas. En otras palabras no dependen de la masa.
• Ejemplos: temperatura, velocidad, volumen específico (vol./ masa), punto de ebullición, punto de fusión, densidad, magnitud escalar o vectorial.
• Las propiedades extensivas si dependen de la cantidad de sustancias del sistema y son recíprocamente equivalentes a las intensivas.
• Ejemplos: masa, cantidad de movimiento.
• La naturaleza escalar y vectorial es compartida por ambas propiedades.
METODOS DE PREDICCION
• Algunos métodos clásicos para predecir el comportamiento de yacimientos petroleros son:
Análogos : utilizan las características de yacimientos maduros que son análogos al yacimiento objetivo, y con esta información intentan predecir el desempeño del mismo.
Experimentales : miden las propiedades físicas (presión, saturación, flujos de inyección, etc.) en núcleos de roca, y luego se extrapolan a todo el yacimiento.
Matemáticos : usan modelos matemáticos y su solución en computadora por medio de métodos numéricos, para predecir el comportamiento del yacimiento.
• Existen varios enfoques para clasificar los simuladores: Tipo de fluidos . Gas, aceite negro (black oil) y composicionales (entre otros).
• Los de aceite negro son los más convencionales y se usan cuando los procesos de recuperación no son sensitivos a los cambios composicionales de los fluidos.
• Los composicionales son usados cuando hay cambios composicionales importantes en los fluidos. Incluyen operaciones para mantener la presión y procesos miscibles.
Las simulaciones de yacimientos usualmente se aplican como
sigue:
• Objetivos del estudio.
• Juntar y validar datos del yacimientos.
• Diseñar el simulador.
• Calibrar el simulador con datos disponibles (history match).
• Realizar predicciones.
WELLFLO™ SOFTWARE DE INGENIERÍA PETROLERA
• El software de análisis de sistemas WellFlo es una aplicación autónoma, poderosa y simple de usar para diseñar, modelar, optimizar e identificar problemas de pozos individuales de crudo y gas, ya sean naturalmente fluyentes o levantados artificialmente. Con este software, el ingeniero construye modelos de pozos, usando una interfaz de configuración de pozos paso-a-paso. Estos modelos precisos y rigurosos muestran el comportamiento del influjo del reservorio, tubing del pozo y flujo de la tubería de superficie, para cualquier fluido del reservorio. El uso del software WellFlo resulta en una inversión de capital más efectiva al mejorar el diseño de pozos y completaciones, reduce los gastos operativos encontrando y aliviando los problemas de producción y mejora los ingresos al mejorar el desempeño del pozo.
Aplicaciones
El paquete de software WellFlo es una herramienta de pozo único que usa técnicas de análisis para modelar el influjo del reservorio y el desempeño de flujo de salida del pozo. El modelado WellFlo puede ser aplicado para diseñar, optimizar e identificar problemas de pozos individuales. Las aplicaciones específicas para las cuales este software puede ser usado incluyen:
• Diseño de configuración de pozo para máximo desempeño a lo largo de la vida útil del pozo
• Diseño de completación para maximizar el desempeño del pozo a lo largo de la vida útil del mismo
• Diseño de levantamiento artificial
• Predicción de temperaturas y presiones de flujo en pozos y líneas, así como en equipos de
superficie para cálculos de diseño óptimo
• Monitoreo de reservorio, pozo y línea de flujo
• Generación de curvas de desempeño de levantamiento vertical para uso en simuladores de
reservorio
Así como estas aplicaciones, el software tiene también dos sub-aplicaciones internas clave que
pueden ser usadas de manera autónoma del resto del programa y ofrecer así al usuario un excelente kit de herramientas de ingeniería.
• Modelado detallado de desempeño de influjo de reservorio
• Múltiples modelos de completación y perforación
• Análisis detallado de skin
• Modelado detallado de PVT de fluidos
• Modelos de crudo negro para petróleo y gas
• Modelos de Ecuación de Estado para crudo condensado y volátil
• Ajuste de data de laboratorio
• Predicción de comportamiento del fluido
Modelado de Influjo de Pozo y Completación
El influjo de pozo es un factor importante en el desempeño de un pozo. La interfaz de WellFlo permite ingresar un PI, presión de reservorio y modelo de influjo tal como Vogel, si la información es limitada. Alternativamente, data detallada de completación, incluyendo zona dañada, desviación del pozo, penetración parcial, especificación de perforación, información de empaque de grava y geometría de la fractura puede ser toda ingresada para predecir el efecto sobre la productividad del pozo (esto puede ser lograda para pozos tanto verticales como horizontales).
•
•
Un modelo multicapas es incluido para sistemas compuestos, con cada capa teniendo su propio modelo de fluido, completación e influjo. Esto beneficia a los ingenieros petroleros que diseñan nuevas completaciones ó diagnostican problemas de desempeño. Un sofisticado modelo de influjo de tasa de flujo másico constante pueden ser usado para incluir efectos de permeabilidad relativa. Estos pueden ser ingresados a través de tablas ó coeficientes de Corey. Esto provee una técnica extremadamente precisa para pronóstico de desempeño en reservorios de condensado y casquete gaseoso, y es especialmente útil al predecir el desempeño al cambiar las condiciones del reservorio y de las fracciones de fase en dichos campos.
•
•
Modelado PVT
Todo el modelado de presión y flujo en sistemas de hidrocarburos se basa en el modelado exacto de las propiedades de los fluidos al variar las mismas en relación con la presión y temperatura. El paquete WellFlo PVT incluye las importantes correlaciones de crudo negro estándar y permite que las mismas sean ajustadas para adaptarse a la data observada. La correlación ajustada es luego usada a lo largo del programa para calcular las propiedades de los fluidos. Como resultado de ello, se puede confiar en la precisión de las predicciones de desempeño del software y las operaciones de optimización las cuales a menudo dependen de cálculos exactos de las propiedades de los fluidos.
Para fluidos casi críticos, en donde las correlaciones de crudo negro no son confiables, se incorpora una técnica de ecuación de estado en el software con facilidades de ajuste para permitir el modelado preciso de estos tipos de fluidos. Este enfoque tiene grandes ventajas ya que sólo requiere de la data limitada necesaria para un modelo de crudo negro al tiempo que retiene la mayor precisión del modelado completamente composicional.
Cálculos de Transversal de Presión y Temperatura
La caída de presión y cambio de temperatura entre el fondo del pozo y la superficie del mismo es normalmente la mayor caída del sistema. El análisis de caída de presión de WellFlo incorpora todas las correlaciones importantes para este cálculo. Las opciones de modelado de temperatura incluyen definiciones manuales de temperatura en cada nodo, modelos de pérdida de calor calculada y calibrada y un modelo de temperatura-presión acoplado. Esto permite definir los factores de pérdida de calor ya sea a través del cálculo del sistema o por entrada directa.
Los gráficos de data medida y predicciones pueden ser mostrados simultáneamente en pantalla, permitiendo un ajuste rápido. Al ejecutar cálculos de transversal de presión se tiene la opción de capturar otra data en vez de la presión y temperatura, tal como densidades y velocidades de fase in-situ, régimen de flujo y retención más los términos gravitacionales, friccionales y de aceleración de la caída de presión. Esta data puede ser muy útil para determinar, por ejemplo, si los límites de velocidad erosional están siendo excedidos.
•
•
Ajuste de Modelos de Pozo
Para asegurar que los resultados del análisis puedan igualar la realidad con confianza, los usuarios necesitan contar con una manera de ajustar su modelo de pozo con respecto a la data medida. Con tantos paquetes de software, esta tarea puede ser trabajosa y desafiante. En la versión rediseñada del software WellFlo 4.0, esta tarea puede ser grandemente simplificada a través del desarrollo de un modo de “Ajuste” completamente nuevo. En este modo, los usuarios son capaces de ajustar las correlaciones PVT usando data PVT; los mismos pueden usar estudios de gradiente de presión para ajustar su modelo de desempeño de flujo de salida; pueden usar data de prueba de pozo de producción, ya sea en condiciones de superficie o fondo de pozo, para ajustar una variedad de parámetros de pozo. En cada uno de estos casos, la data puede ser ingresada manualmente o importada desde una fuente externa a través de una herramienta de importación basada en asistente. Una vez que la data medida es ingresada, puede ser entonces usada para ajustar una variedad de parámetros utilizando un poderoso algoritmo de regresión no-lineal. Esto asegura que los modelos de pozo sean tan exactos como sea posible con un mínimo esfuerzo de parte del usuario.
•
•
Exportación e Importación de Data
Las herramientas de exportación de data de WellFlo generan data de tabla de flujo vertical en formato DOS ó UNIX para su uso en simuladores de reservorio Eclipse™, VIP™ y otros. Estos archivos son simplemente pegados en los paneles de control del simulador. Por lo tanto, se hace
práctico generar una tabla de perfil de flujo vertical para cada pozo en un campo apropiada a dicho pozo en particular. Sin este enlace directo a los simuladores, una tabla ‘típica’ es usada para todos los pozos debido a la poca practicidad de generar una tabla por pozo.
Los archivos de reporte pueden ser generados en formato separado por tabulaciones para permitir una fácil exportación de la data hacia paquetes de procesamiento de palabra y hoja de cálculo. La capacidad de ‘cortar y pegar’ del ambiente Windows™ permite una generación muy eficiente de reportes, incluyendo gráficas y otras capturas de pantallas. Una opción de exportación de gráficos también permite que los gráficos sean guardados directamente a archivo en un número de formatos.
- Hay disponibilidad de generación de archivos de presión fluyente UNIX y DOS para simuladores de reservorio Eclipse, VIP, CHEARS, SimBest I y II, IMEX, MoRes, GCOMP, COM4 y un modo por lotes multi-pozo para algunas salidas
- Salida de archivos por palabra clave disponible para transferencia de datos a otras aplicaciones
- La facilidad de exportación de gráficos guarda estos directamente a archivo (formatos BMP, GIF, JPG y TIF)
- Los reportes pueden ser abiertos directamente en Word, Excel, etc.
La profundidad de presión medida o data de presión y tasa pueden ser importadas hacia el repositorio de datos WellFlo y graficado en los mismos gráficos que la predicción del modelo. Esto reduce significativamente el tiempo que se toma producir un modelo de data igualada. Una opción de auto-regresión estima el factor de ajuste de correlación de flujo óptimo de acuerdo a un ajuste de mínimos cuadrados con respecto a la data medida.
Diseño y Análisis de Gas Lift
Usando las capacidades especializadas del programa para gas-lift, los ingenieros pueden diseñar y modelar instalaciones, así como determinar el número y posición de las válvulas de gas-lift, así como la tasa de inyección óptima tomando en cuenta la presión de inyección disponible.
El diseño y diagnóstico de gas-lift son una fortaleza particular del software que los realiza (con su vínculo con el único simulador dinámico de gas-lift disponible comercialmente, el programa EPS DynaLift™), un sistema de gas-lift poderoso de manera única. Esto es crítico en una herramienta usada para modelado y optimización de sistema de gas-lift completo.
Este programa permite incorporar términos de tasa de inyección de gas o de relación gas-líquido, como se prefiera. Junto con la presión de diferencial de casing, estos factores son ingresados como variables de sensibilidad. Para cada tasa especificada, el programa determina cuál válvula está siendo usada para inyección de gas de manera que las predicciones del sistema sean siempre precisas.
Las características de WellFlo incluyen los siguientes modos de operación para analizar y diseñar sistemas de gas-lift:
- Diseño de gas-lift continuo – punto de inyección más profundo
- Diseño de gas-lift – espaciado de válvula para instalaciones de gas-lift continuo o intermitente
- Diseño de gas-lift – dimensionado de válvula
- Análisis de desempeño de gas-lift – para gas-lift continuo
- Modelado avanzado de válvula de gas-lift (AGVM) – para gas-lift continuo, desempeño real de
válvula
•
•
Modelado Avanzado de Válvula de Gas-Lift
Las presiones a las cuales las válvulas de gas-lift permiten que el gas pase y las cantidades de gas que pasan por las mismas dependen de la forma en que están construidas.
Las válvulas de orificio son simples: si hay suficiente presión en el casing para que alcance la válvula, entonces las principales limitaciones de cuánto gas puede pasar a través de la válvula son el tamaño del puerto y la presión del casing.
Las válvulas controladas por presión o válvulas “vivas” se abren a una presión que depende del vencimiento de una fuerza de resistencia (fuelle o resorte). Estos mecanismos también permiten que la válvula se abra completa o parcialmente y que pasen cantidades variables de gas dependiendo del balance de las presiones de tubing y casing y del tamaño del puerto de la válvula.
La facilidad de AGVM en el software introduce verdadero desempeño de válvula en el cómputo de los puntos operativos.
Sistemas de Bombeo Electro-Sumergible
Los ingenieros de EPS han trabajado extensamente con los fabricantes de bombas para asegurar que los cálculos ejecutados por el software WellFlo–ESP sean rigurosamente precisos. El programa cuenta con una base de datos completa de curvas de desempeño de bombas para todos los modelos de los principales fabricantes. Estas curvas son usadas como la base para los cálculos de diferencial que son luego ajustados para densidad de fluido, frecuencia de bombeo, número de etapas y otras variables de sistema. Esto significa que cálculos confiables de desempeño de bomba son ejecutados en toda condición de operación. El beneficio de incluir modelado de bombas dentro del software es que el mismo permite que una bomba sea modelada tal como se instaló en el pozo real, tal como en un pozo horizontal, con un tipo de fluido particular. Esto es más exacto que modelar el desempeño de la bomba sin considerar otras características del pozo.
Generador de Archivo de Seudo-Presión (PPFG)
El PPFG multifásico (enlace con paquetes PVT de terceros) es una aplicación adicional que crea una tabla de seudo-presiones multifásicas a partir del propio PVT del cliente. Esto permite al cliente usar su propio paquete de modelado PVT en donde prefiera. Las seudo-presiones multifásicas generadas por PPFG pueden ser luego importadas dentro del software WellFlo para su uso en cálculos IPR.
La data PVT es generada por el paquete PVT preferido del usuario y suplida al software en forma de archivo ASCII contentivo de una tabla de propiedades de fase versus presión a una temperatura especificada (de reservorio). Las propiedades requeridas son viscosidad, densidad y, para sistemas de crudo y condensado, fracción de masa gaseosa.
El PPFG se comunica con el software WellFlo por medio de una enlace API externo para extraer la data de permeabilidad relativa que es parte del modelo de pozo y reservorio contenido en el archivo del pozo.
El generador luego crea un archivo de seudo-presión multifásica. Éste puede ser importado dentro del software y usado como base para cálculos de IPR de capa. El uso de data externa PVT es una alternativa al uso de los modelos internos PVT del propio software (EoS de 4-componentes, correlaciones de crudo negro, etc.).
A cada capa en el modelo WellFlo se le puede asignar su propio archivo de seudo-presión y cada uno de estos puede ser generado a partir de un conjunto diferente de data PVT de manera que el
modelado preciso de variaciones en las propiedades de fluidos con la profundidad y sus efectos sobre el IPR se hace posible.
•
•
Gestión de Documentos
La última versión del software atiende una de las tareas más importantes, aunque más a menudo pasada por alto, a las que se enfrentan los usuarios del programa, a través del desarrollo de un sistema único de gestión de documentos. Tras finalizar un análisis o diseño, los usuarios generalmente desean mostrar y luego guardar su trabajo en forma de gráfico o reporte. Desafortunadamente, la mayoría de los paquetes de software no proveen una manera fácil de lograr esto. En la mayoría de los casos, el gráfico o reporte está sólo disponible para visualizarlo por tanto tiempo como sea mostrado en pantalla. Los creadores de la plataforma de análisis de sistemas WellFlo han desarrollado una nueva opción llamada “Salida”, la cual atiende este necesidad. Los usuarios ahora pueden guardar y organizar cualquier gráfico o reporte que sea generado en el software. Una vez que el ítem es guardado, está disponible para verlo en la sección de Salida, en donde puede ser fácilmente cargado usando la opción de administración de documentos provista. Esto significa que los usuarios pueden fácilmente mostrar, imprimir o enviar por e-mail cualquier resultado de análisis de cualquier modelo de pozo, sin importar cuál modelo esté activo en el momento. Esto puede ahorrar horas de frustración y esfuerzos perdidos para el usuario, al tiempo que provee una manera transparente de ver los resultados de corridas de análisis previas.
Conclusión
El paquete de análisis WellFlo es una sofisticada herramienta de modelado de pozo con amplia aplicación en todos los pozos de producción o inyección. Con más de una década de uso en aplicaciones en todas las principales regiones productoras de hidrocarburos, se ha beneficiado del amplio rango de ambientes técnicos en el cual ha sido usado. El software WellFlo 4.0 agrega más
a este pedigrí, proporcionando un nuevo nivel de sofisticación, flexibilidad y facilidad de uso. Al madurar el producto y realizarse mejoras futuras, esta robusta herramienta de análisis continuará proveyendo capacidades insuperables para modelado y optimización de pozos.
El software es parte de la suite de software de optimización de producción de Weatherford que incluye:
- DynaLift, simulador de gas-lift dinámico
- MatBal™, software de balance de materiales
- PanSystem™, software de pruebas de pozo
- PanMesh™, simulador numérico para análisis de pruebas de pozo
- ReO™, software de simulación de redes y optimización
- ReO Forecast™, software de pronósticos de producción y planificación de campo
- Sistema de operaciones diarias inteligentes (i-DO™)
Fuente: Weatherford International. ep-weatherford.com
METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA
TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS
• Modelo cuantitativo es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios.
• Modelo cualitativo aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos.
• Modelo Probabilístico aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales).
• Modelo Determinístico corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.
• Modelo Descriptivo cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden reajustarse o aún para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación.
• Modelo Optimizador corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.
Los modelos de cualquier clase, sin importar su refinamiento y exactitud, pueden probar ser poco prácticos si no están respaldados con datos confiables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, en realidad será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos puede tener un efecto directo en la precisión del modelo. La recopilación de datos puede ser la parte más difícil para determinar un modelo y desgraciadamente no se pueden sugerir reglas para este procedimiento.
Por lo común los modelos matemáticos son de índole iterativa, vale decir, se llega a la respuesta final en pasos o iteraciones y cada iteración acerca la solución al nivel óptimo, pero no todos los modelos matemáticos poseen algoritmos de solución que converjan al nivel óptimo por dos razones:
• El algoritmo de solución converge al nivel óptimo solo en teoría. La convergencia teórica señala que hay un límite superior finito, pero sin indicar cuan alto puede ser ese límite. Por lo tanto, se puede gastar horas y horas de computadora sin alcanzar la iteración final.
• La complejidad del modelo matemático puede hacer imposible idear un algoritmo de solución. Por lo tanto, el modelo puede mantenerse no factible en términos de cálculo.
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
El proceso para elaborar un modelo matemático es el siguiente:
1. Encontrar un problema del mundo real
2. Formular un modelo matemático acerca del problema, identificando variables (dependientes e independientes) y estableciendo hipótesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemática.
3. Aplicar los conocimientos matemáticos que se posee para llegar a conclusiones matemáticas.
4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.
Es importante mencionar que un modelo matemático no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealización.
Hay una gran cantidad de funciones que representan relaciones observadas en el mundo real; las cuales se analizarán en los párrafos siguientes, tanto algebraicamente como gráficamente.
2. Modelos Lineales
Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia tiene la forma:
y = f(x) = mx + b
Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.
3. Polinomios
Una función es polinomio si tiene la forma:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …… a2x2 + a1x + a0
Donde n representa un entero negativo y los números a0, a1, a2,….. an, son constantes llamadas coeficientes del polinomio. El dominio de todos los polinomios son todos los números reales (-∞, ∞).
Los polinomios se nombran de acuerdo al grado del primer termino. Los polinomios de grado uno son de la forma: P(x) = mx + b, y son funciones lineales. Los polinomios de segundo grado son llamados funciones cuadráticas y presentan la forma P(x) = axx + bx + c; su gráfica es de una parábola.
Una función de tercer grado, es llamada función cúbica, y tiene la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. A continuación se muestran las gráficas de algunas funciones de polinomios.
4. Funciones potencia
Una función es llamada potencia, cuando tiene la forma: f(x) = xa, donde a es constante. Y hay varios casos:
a. La forma genera de la gráfica depende si n es par o impar; si n es par, la gráfica de f es similar a la parábola y = x2; de lo contrario, la gráfica se parecerá a la función y =x3.
Es importante mencionar, que en cualquiera que sea el caso, cuando n crece, la gráfica se vuelve más plana cerca de 0, y más empinada cuando Ix I es menor o igual a 1.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x2 y x6.
Las dos gráficas anteriores son ejemplos de funciones pares: x3 y x5.
b. a= n, n es un entero positivo
La función f(x) = x1/n es una función raíz. Al igual que en el caso anterior, su gráfica depende de n, ya que si n es par su gráfica será similar al de raíz cuadrada; y si n es impar su gráfica será similar al de raíz cúbica.
c. a= 1/n, n es un entero positivo.
d. a= -1
Éste tipo de función es llamada función recíproca, y su forma es f(x) = x -1 o f(x) = -1/x. Y su gráfica corresponde a una hipérbola cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas.
5. Funciones racionales
Una función es llamada racional cuando es una razón o división de dos polinomios.
f(x) = P(x) / Q(x)
Su dominio lo constituyen todos los valores que no hagan a Q(x) = 0, ya que una división es indivisible entre 0.
6. Funciones trigonométricas
En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.
7. Funciones exponenciales
Se les llama funciones exponenciales a aquellas que tienen la forma f(x) = ax, donde la base a es una constante positiva. Su dominio es (-∞,∞) y su imagen (0, ∞).
Es importante mencionar que si la base de la función exponencial es mayor a 1, la gráfica será descendente, y si la base se encuentra entre 0 y 1 la gráfica será descendente (pero en el cuadrante contrario).
8. Funciones logaritmos
Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞). Veamos ejemplos:
Como podemos observar en las dos gráficas anteriores, a medida que la base del logaritmo es mayor, la gráfica de éste se apega más al eje Y.
9. Funciones trascendentes
En realidad esta clasificación engloba a todas aquellas funciones que no son algebraicas (esto es, las que involucran adición, sustracción, división y multiplicación de variables).
Las funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, y trigonométricas inversas, entre otras.
MODELO COMPUTACIONAL
Un modelo computacional es un modelo matemático en las ciencias de la computación que requiere extensos recursos computacionales para estudiar el comportamiento de un sistema complejo por medio de la simulación por computadora. El sistema bajo estudio es a menudo un sistema complejo no lineal para el cual las soluciones analíticas simples e intuitivas no están fácilmente disponibles. En lugar de derivar una solución analítica matemática para el problema, la experimentación es hecha con el modelo cambiando los parámetros del sistema en la computadora, y se estudian las diferencias en el resultado de los experimentos. Las teorías de la operación del modelo se pueden derivar/deducir de estos experimentos de computacionales.
Ejemplos de modelos de computacionales comunes son modelos de el pronóstico del tiempo, modelos del Earth Simulator, modelos de simulador de vuelo, modelos de plegamiento molecular de proteínas, y modelos de red neural.
MODELOS MATEMATICOS PARA LA PRODUCCION DE PETROLEO
Yacimientos petroleros
Un yacimiento petrolero es un medio poroso que contiene hidrocarburos.
• El material sólido, la roca, se conoce como matriz porosa y su huecos están llenos de fluidos. Tres fases: agua, aceite y gas.
• En la fase agua solo hay H2O.
• En las fases aceite y gas hay muchos hidrocarburos de distinta composición.
• El objetivo principal de la simulación de yacimientos es predecir su comportamiento futuro y encontrar maneras de optimizar la recuperación de algunos hidrocarburos.
• Dos características importantes de un yacimiento son la naturaleza de la roca y de los fluidos que la “llenan”.
• Un yacimiento es heterogeneo: sus propiedades dependen fuertemente del espacio.
• Por ejemplo: un yacimiento fracturado.
• La porosidad y la permeabilidad cambian dramáticamente.
• Las ecuaciones gobernantes son similares a las de un yacimiento ordinario, pero tienen dificultades adicionales.
• La naturaleza de los fluidos depende de la etapa de recuperación.
• En la primera etapa (recuperación primaria) , el yacimiento escencialmente contiene un fluido: gas o aceite (el agua es mínima). La presión en esta etapa es tan alta que el gas o aceite son producidos por descompresión natural. Esta etapa termina cuando ocurre un equlibrio entre la presión del campo con la presión atmosférica. Entre 70 y 80% de hidrocarburos no se extraen.
• Para recuperar el aceite que falta, un fluido (agua) es inyectado en algunos pozos (pozos de inyección), mientras que es producido en otros pozos (pozos de producción). Este proceso sirve para mantener una alta presión y altos flujos de recuperación. Esta etapa se conoce como recuperación secundaria (cuando se introduce agua se dice waterflooding)
• La inyección de agua no es muy efectiva, y después de esta etapa el yacimiento contiene aún el 50% o más de los hidrocarburos. Debido a la fuerte tensión superficial, una gran cantidad de aceite queda atrapada en los poros pequeños. Cuando el aceite es pesado y viscoso, el agua es muy móvil. Si la razón de flujo es muy alta, en vez de producir aceite, se produce agua.
• Técnicas de recuperación mejorada han sido desarrolladas (Enhanced Oil Recovery (EOR)) para optimizar la producción. Esta etapa también se conoce como recuperación terciaria.
• El aceite se recupera por inyección de materiales que no están presentes originalmente en el yacimiento. Entre los objetivos se busca obtener miscibilidad y así eliminar la saturación residual de aceite. La miscibilidad se obtiene incrementado la temperatura (combustión in situ), o inyectando otras especies químicas como CO2.
La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcción de modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y en procesos industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicas numéricas y computacionales
MODELO FISICO
En la simulación de yacimientos petroleros (SYP)
• Rasgos geológicos y estructurales del yacimiento.
• Fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y su
distribución, etc.
• Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos.
• Porosidad, permeabilidad, saturación, etc.
• Tipo de modelo
• Una, dos o tres fases (petróleo, agua, aceite).
• Composicional
• Modelos térmicos.
• Reacciones químicas
MODELO MATEMATICO
La formulación matemática se hará usando el método axiomático. En este método se identifican:
• “Propiedades extensivas”: aquellas que se pueden expresar como una integral de volumen.
• “Propiedades intensivas” : cualquier extensiva por unidad de volumen.
• Las propiedades intensivas son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia del sistema, por este motivo no son aditivas. En otras palabras no dependen de la masa.
• Ejemplos: temperatura, velocidad, volumen específico (vol./ masa), punto de ebullición, punto de fusión, densidad, magnitud escalar o vectorial.
• Las propiedades extensivas si dependen de la cantidad de sustancias del sistema y son recíprocamente equivalentes a las intensivas.
• Ejemplos: masa, cantidad de movimiento.
• La naturaleza escalar y vectorial es compartida por ambas propiedades.
METODOS DE PREDICCION
• Algunos métodos clásicos para predecir el comportamiento de yacimientos petroleros son:
Análogos : utilizan las características de yacimientos maduros que son análogos al yacimiento objetivo, y con esta información intentan predecir el desempeño del mismo.
Experimentales : miden las propiedades físicas (presión, saturación, flujos de inyección, etc.) en núcleos de roca, y luego se extrapolan a todo el yacimiento.
Matemáticos : usan modelos matemáticos y su solución en computadora por medio de métodos numéricos, para predecir el comportamiento del yacimiento.
• Existen varios enfoques para clasificar los simuladores: Tipo de fluidos . Gas, aceite negro (black oil) y composicionales (entre otros).
• Los de aceite negro son los más convencionales y se usan cuando los procesos de recuperación no son sensitivos a los cambios composicionales de los fluidos.
• Los composicionales son usados cuando hay cambios composicionales importantes en los fluidos. Incluyen operaciones para mantener la presión y procesos miscibles.
Las simulaciones de yacimientos usualmente se aplican como
sigue:
• Objetivos del estudio.
• Juntar y validar datos del yacimientos.
• Diseñar el simulador.
• Calibrar el simulador con datos disponibles (history match).
• Realizar predicciones.
WELLFLO™ SOFTWARE DE INGENIERÍA PETROLERA
• El software de análisis de sistemas WellFlo es una aplicación autónoma, poderosa y simple de usar para diseñar, modelar, optimizar e identificar problemas de pozos individuales de crudo y gas, ya sean naturalmente fluyentes o levantados artificialmente. Con este software, el ingeniero construye modelos de pozos, usando una interfaz de configuración de pozos paso-a-paso. Estos modelos precisos y rigurosos muestran el comportamiento del influjo del reservorio, tubing del pozo y flujo de la tubería de superficie, para cualquier fluido del reservorio. El uso del software WellFlo resulta en una inversión de capital más efectiva al mejorar el diseño de pozos y completaciones, reduce los gastos operativos encontrando y aliviando los problemas de producción y mejora los ingresos al mejorar el desempeño del pozo.
Aplicaciones
El paquete de software WellFlo es una herramienta de pozo único que usa técnicas de análisis para modelar el influjo del reservorio y el desempeño de flujo de salida del pozo. El modelado WellFlo puede ser aplicado para diseñar, optimizar e identificar problemas de pozos individuales. Las aplicaciones específicas para las cuales este software puede ser usado incluyen:
• Diseño de configuración de pozo para máximo desempeño a lo largo de la vida útil del pozo
• Diseño de completación para maximizar el desempeño del pozo a lo largo de la vida útil del mismo
• Diseño de levantamiento artificial
• Predicción de temperaturas y presiones de flujo en pozos y líneas, así como en equipos de
superficie para cálculos de diseño óptimo
• Monitoreo de reservorio, pozo y línea de flujo
• Generación de curvas de desempeño de levantamiento vertical para uso en simuladores de
reservorio
Así como estas aplicaciones, el software tiene también dos sub-aplicaciones internas clave que
pueden ser usadas de manera autónoma del resto del programa y ofrecer así al usuario un excelente kit de herramientas de ingeniería.
• Modelado detallado de desempeño de influjo de reservorio
• Múltiples modelos de completación y perforación
• Análisis detallado de skin
• Modelado detallado de PVT de fluidos
• Modelos de crudo negro para petróleo y gas
• Modelos de Ecuación de Estado para crudo condensado y volátil
• Ajuste de data de laboratorio
• Predicción de comportamiento del fluido
Modelado de Influjo de Pozo y Completación
El influjo de pozo es un factor importante en el desempeño de un pozo. La interfaz de WellFlo permite ingresar un PI, presión de reservorio y modelo de influjo tal como Vogel, si la información es limitada. Alternativamente, data detallada de completación, incluyendo zona dañada, desviación del pozo, penetración parcial, especificación de perforación, información de empaque de grava y geometría de la fractura puede ser toda ingresada para predecir el efecto sobre la productividad del pozo (esto puede ser lograda para pozos tanto verticales como horizontales).
•
•
Un modelo multicapas es incluido para sistemas compuestos, con cada capa teniendo su propio modelo de fluido, completación e influjo. Esto beneficia a los ingenieros petroleros que diseñan nuevas completaciones ó diagnostican problemas de desempeño. Un sofisticado modelo de influjo de tasa de flujo másico constante pueden ser usado para incluir efectos de permeabilidad relativa. Estos pueden ser ingresados a través de tablas ó coeficientes de Corey. Esto provee una técnica extremadamente precisa para pronóstico de desempeño en reservorios de condensado y casquete gaseoso, y es especialmente útil al predecir el desempeño al cambiar las condiciones del reservorio y de las fracciones de fase en dichos campos.
•
•
Modelado PVT
Todo el modelado de presión y flujo en sistemas de hidrocarburos se basa en el modelado exacto de las propiedades de los fluidos al variar las mismas en relación con la presión y temperatura. El paquete WellFlo PVT incluye las importantes correlaciones de crudo negro estándar y permite que las mismas sean ajustadas para adaptarse a la data observada. La correlación ajustada es luego usada a lo largo del programa para calcular las propiedades de los fluidos. Como resultado de ello, se puede confiar en la precisión de las predicciones de desempeño del software y las operaciones de optimización las cuales a menudo dependen de cálculos exactos de las propiedades de los fluidos.
Para fluidos casi críticos, en donde las correlaciones de crudo negro no son confiables, se incorpora una técnica de ecuación de estado en el software con facilidades de ajuste para permitir el modelado preciso de estos tipos de fluidos. Este enfoque tiene grandes ventajas ya que sólo requiere de la data limitada necesaria para un modelo de crudo negro al tiempo que retiene la mayor precisión del modelado completamente composicional.
Cálculos de Transversal de Presión y Temperatura
La caída de presión y cambio de temperatura entre el fondo del pozo y la superficie del mismo es normalmente la mayor caída del sistema. El análisis de caída de presión de WellFlo incorpora todas las correlaciones importantes para este cálculo. Las opciones de modelado de temperatura incluyen definiciones manuales de temperatura en cada nodo, modelos de pérdida de calor calculada y calibrada y un modelo de temperatura-presión acoplado. Esto permite definir los factores de pérdida de calor ya sea a través del cálculo del sistema o por entrada directa.
Los gráficos de data medida y predicciones pueden ser mostrados simultáneamente en pantalla, permitiendo un ajuste rápido. Al ejecutar cálculos de transversal de presión se tiene la opción de capturar otra data en vez de la presión y temperatura, tal como densidades y velocidades de fase in-situ, régimen de flujo y retención más los términos gravitacionales, friccionales y de aceleración de la caída de presión. Esta data puede ser muy útil para determinar, por ejemplo, si los límites de velocidad erosional están siendo excedidos.
•
•
Ajuste de Modelos de Pozo
Para asegurar que los resultados del análisis puedan igualar la realidad con confianza, los usuarios necesitan contar con una manera de ajustar su modelo de pozo con respecto a la data medida. Con tantos paquetes de software, esta tarea puede ser trabajosa y desafiante. En la versión rediseñada del software WellFlo 4.0, esta tarea puede ser grandemente simplificada a través del desarrollo de un modo de “Ajuste” completamente nuevo. En este modo, los usuarios son capaces de ajustar las correlaciones PVT usando data PVT; los mismos pueden usar estudios de gradiente de presión para ajustar su modelo de desempeño de flujo de salida; pueden usar data de prueba de pozo de producción, ya sea en condiciones de superficie o fondo de pozo, para ajustar una variedad de parámetros de pozo. En cada uno de estos casos, la data puede ser ingresada manualmente o importada desde una fuente externa a través de una herramienta de importación basada en asistente. Una vez que la data medida es ingresada, puede ser entonces usada para ajustar una variedad de parámetros utilizando un poderoso algoritmo de regresión no-lineal. Esto asegura que los modelos de pozo sean tan exactos como sea posible con un mínimo esfuerzo de parte del usuario.
•
•
Exportación e Importación de Data
Las herramientas de exportación de data de WellFlo generan data de tabla de flujo vertical en formato DOS ó UNIX para su uso en simuladores de reservorio Eclipse™, VIP™ y otros. Estos archivos son simplemente pegados en los paneles de control del simulador. Por lo tanto, se hace
práctico generar una tabla de perfil de flujo vertical para cada pozo en un campo apropiada a dicho pozo en particular. Sin este enlace directo a los simuladores, una tabla ‘típica’ es usada para todos los pozos debido a la poca practicidad de generar una tabla por pozo.
Los archivos de reporte pueden ser generados en formato separado por tabulaciones para permitir una fácil exportación de la data hacia paquetes de procesamiento de palabra y hoja de cálculo. La capacidad de ‘cortar y pegar’ del ambiente Windows™ permite una generación muy eficiente de reportes, incluyendo gráficas y otras capturas de pantallas. Una opción de exportación de gráficos también permite que los gráficos sean guardados directamente a archivo en un número de formatos.
- Hay disponibilidad de generación de archivos de presión fluyente UNIX y DOS para simuladores de reservorio Eclipse, VIP, CHEARS, SimBest I y II, IMEX, MoRes, GCOMP, COM4 y un modo por lotes multi-pozo para algunas salidas
- Salida de archivos por palabra clave disponible para transferencia de datos a otras aplicaciones
- La facilidad de exportación de gráficos guarda estos directamente a archivo (formatos BMP, GIF, JPG y TIF)
- Los reportes pueden ser abiertos directamente en Word, Excel, etc.
La profundidad de presión medida o data de presión y tasa pueden ser importadas hacia el repositorio de datos WellFlo y graficado en los mismos gráficos que la predicción del modelo. Esto reduce significativamente el tiempo que se toma producir un modelo de data igualada. Una opción de auto-regresión estima el factor de ajuste de correlación de flujo óptimo de acuerdo a un ajuste de mínimos cuadrados con respecto a la data medida.
Diseño y Análisis de Gas Lift
Usando las capacidades especializadas del programa para gas-lift, los ingenieros pueden diseñar y modelar instalaciones, así como determinar el número y posición de las válvulas de gas-lift, así como la tasa de inyección óptima tomando en cuenta la presión de inyección disponible.
El diseño y diagnóstico de gas-lift son una fortaleza particular del software que los realiza (con su vínculo con el único simulador dinámico de gas-lift disponible comercialmente, el programa EPS DynaLift™), un sistema de gas-lift poderoso de manera única. Esto es crítico en una herramienta usada para modelado y optimización de sistema de gas-lift completo.
Este programa permite incorporar términos de tasa de inyección de gas o de relación gas-líquido, como se prefiera. Junto con la presión de diferencial de casing, estos factores son ingresados como variables de sensibilidad. Para cada tasa especificada, el programa determina cuál válvula está siendo usada para inyección de gas de manera que las predicciones del sistema sean siempre precisas.
Las características de WellFlo incluyen los siguientes modos de operación para analizar y diseñar sistemas de gas-lift:
- Diseño de gas-lift continuo – punto de inyección más profundo
- Diseño de gas-lift – espaciado de válvula para instalaciones de gas-lift continuo o intermitente
- Diseño de gas-lift – dimensionado de válvula
- Análisis de desempeño de gas-lift – para gas-lift continuo
- Modelado avanzado de válvula de gas-lift (AGVM) – para gas-lift continuo, desempeño real de
válvula
•
•
Modelado Avanzado de Válvula de Gas-Lift
Las presiones a las cuales las válvulas de gas-lift permiten que el gas pase y las cantidades de gas que pasan por las mismas dependen de la forma en que están construidas.
Las válvulas de orificio son simples: si hay suficiente presión en el casing para que alcance la válvula, entonces las principales limitaciones de cuánto gas puede pasar a través de la válvula son el tamaño del puerto y la presión del casing.
Las válvulas controladas por presión o válvulas “vivas” se abren a una presión que depende del vencimiento de una fuerza de resistencia (fuelle o resorte). Estos mecanismos también permiten que la válvula se abra completa o parcialmente y que pasen cantidades variables de gas dependiendo del balance de las presiones de tubing y casing y del tamaño del puerto de la válvula.
La facilidad de AGVM en el software introduce verdadero desempeño de válvula en el cómputo de los puntos operativos.
Sistemas de Bombeo Electro-Sumergible
Los ingenieros de EPS han trabajado extensamente con los fabricantes de bombas para asegurar que los cálculos ejecutados por el software WellFlo–ESP sean rigurosamente precisos. El programa cuenta con una base de datos completa de curvas de desempeño de bombas para todos los modelos de los principales fabricantes. Estas curvas son usadas como la base para los cálculos de diferencial que son luego ajustados para densidad de fluido, frecuencia de bombeo, número de etapas y otras variables de sistema. Esto significa que cálculos confiables de desempeño de bomba son ejecutados en toda condición de operación. El beneficio de incluir modelado de bombas dentro del software es que el mismo permite que una bomba sea modelada tal como se instaló en el pozo real, tal como en un pozo horizontal, con un tipo de fluido particular. Esto es más exacto que modelar el desempeño de la bomba sin considerar otras características del pozo.
Generador de Archivo de Seudo-Presión (PPFG)
El PPFG multifásico (enlace con paquetes PVT de terceros) es una aplicación adicional que crea una tabla de seudo-presiones multifásicas a partir del propio PVT del cliente. Esto permite al cliente usar su propio paquete de modelado PVT en donde prefiera. Las seudo-presiones multifásicas generadas por PPFG pueden ser luego importadas dentro del software WellFlo para su uso en cálculos IPR.
La data PVT es generada por el paquete PVT preferido del usuario y suplida al software en forma de archivo ASCII contentivo de una tabla de propiedades de fase versus presión a una temperatura especificada (de reservorio). Las propiedades requeridas son viscosidad, densidad y, para sistemas de crudo y condensado, fracción de masa gaseosa.
El PPFG se comunica con el software WellFlo por medio de una enlace API externo para extraer la data de permeabilidad relativa que es parte del modelo de pozo y reservorio contenido en el archivo del pozo.
El generador luego crea un archivo de seudo-presión multifásica. Éste puede ser importado dentro del software y usado como base para cálculos de IPR de capa. El uso de data externa PVT es una alternativa al uso de los modelos internos PVT del propio software (EoS de 4-componentes, correlaciones de crudo negro, etc.).
A cada capa en el modelo WellFlo se le puede asignar su propio archivo de seudo-presión y cada uno de estos puede ser generado a partir de un conjunto diferente de data PVT de manera que el
modelado preciso de variaciones en las propiedades de fluidos con la profundidad y sus efectos sobre el IPR se hace posible.
•
•
Gestión de Documentos
La última versión del software atiende una de las tareas más importantes, aunque más a menudo pasada por alto, a las que se enfrentan los usuarios del programa, a través del desarrollo de un sistema único de gestión de documentos. Tras finalizar un análisis o diseño, los usuarios generalmente desean mostrar y luego guardar su trabajo en forma de gráfico o reporte. Desafortunadamente, la mayoría de los paquetes de software no proveen una manera fácil de lograr esto. En la mayoría de los casos, el gráfico o reporte está sólo disponible para visualizarlo por tanto tiempo como sea mostrado en pantalla. Los creadores de la plataforma de análisis de sistemas WellFlo han desarrollado una nueva opción llamada “Salida”, la cual atiende este necesidad. Los usuarios ahora pueden guardar y organizar cualquier gráfico o reporte que sea generado en el software. Una vez que el ítem es guardado, está disponible para verlo en la sección de Salida, en donde puede ser fácilmente cargado usando la opción de administración de documentos provista. Esto significa que los usuarios pueden fácilmente mostrar, imprimir o enviar por e-mail cualquier resultado de análisis de cualquier modelo de pozo, sin importar cuál modelo esté activo en el momento. Esto puede ahorrar horas de frustración y esfuerzos perdidos para el usuario, al tiempo que provee una manera transparente de ver los resultados de corridas de análisis previas.
Conclusión
El paquete de análisis WellFlo es una sofisticada herramienta de modelado de pozo con amplia aplicación en todos los pozos de producción o inyección. Con más de una década de uso en aplicaciones en todas las principales regiones productoras de hidrocarburos, se ha beneficiado del amplio rango de ambientes técnicos en el cual ha sido usado. El software WellFlo 4.0 agrega más
a este pedigrí, proporcionando un nuevo nivel de sofisticación, flexibilidad y facilidad de uso. Al madurar el producto y realizarse mejoras futuras, esta robusta herramienta de análisis continuará proveyendo capacidades insuperables para modelado y optimización de pozos.
El software es parte de la suite de software de optimización de producción de Weatherford que incluye:
- DynaLift, simulador de gas-lift dinámico
- MatBal™, software de balance de materiales
- PanSystem™, software de pruebas de pozo
- PanMesh™, simulador numérico para análisis de pruebas de pozo
- ReO™, software de simulación de redes y optimización
- ReO Forecast™, software de pronósticos de producción y planificación de campo
- Sistema de operaciones diarias inteligentes (i-DO™)
Fuente: Weatherford International. ep-weatherford.com
Suscribirse a:
Entradas (Atom)